참가 현황
이 책은 현대사회를 구성하는데 필요한 수학에 대해 다룬 책이다.
1부에서는 통계의 기본과 베이즈 통계를, 2부에서는 사회를 지탱하는 푸리에 해석을, 3부는 사회를 지탱하는 소수와 암호를, 4부에서는 가동통화와 블록체인을, 5부에서는 사회를 지탱하는 여러 가지 수학을 다룬다.
1부 통계의 기본에서는 집단의 평균값과 흩어진 정도를 구하기 위해 편차를 구하게 되고, 이를 표준으로 표준편차를 구한다. 가장 흔한 정규 분포에 대해 설명하며, 표본 조사의 방법을 다룬다. 기네스 맥주에서 탄생한 t검증에 대해 설명하고, 상관관계의 함정에 대해 주의하도록 설명하고 있다. 베이즈 통계는 결과를 초래하는 원인을 추측하는 통계학을 다루는데 베이즈 통계는 조건부 확률을 구하기 위한 통계학이다. 몬티 홀의 문제는 결국 다른 상자를 골라야 확률이 올라간다는 것을 알 수 있다. 베이즈 통계는 사람의 주관적인 예상도 데이터로 활용할 수 있고, 이를 통해 AI를 크게 발전시키게 되었다.
2부에서는 사회를 지탱하는 푸리에 해석을 다루었다. 푸리에 해석이란 푸리에 급수 전개나 푸리에 변환 등의 수학적인 기술을 구사하여 복잡한 파동을 단순한 파동의 덧셈으로 나타낸 것이다. 복잡한 파동을 분해해 주파수별 파동의 크기를 푸리에 변환이라고 하는데 푸리에 변환을 써서 원래 함수의 성질을 조사하거나 푸리에 변환을 응용해 파동의 특징을 분석하는 일을 푸리에 해석이라고 한다. 이 푸리에 해석으로 디지털 영상과 동영상에서도 활용할 수 있고, 특히, 디지털 영상 압축 기술의 하나인 JPEG에서는 푸리에 해석을 사용해 원래의 영상을 주파수 성분으로 분해한다. 주파수 성분을 솎아 더이터의 양을 줄일 수 있다. 이는 AI의 음성인식과 보컬로이드의 음성 합성도 가능하다. 또한 지진 연구부터 양자 역학까지 모든 과학의 토대이다. 귀에도 푸리에 해석이 있는데 귀에 들어온 음의 높낮이에 따라 달팽이관 내부 어디의 감각모가 기울어 지는데 이런 과정을 통해 귀에 들어온 음의 정보는 주파수 성분별로 분해되어 신경을 통해 뇌에 전달된다.
3부에서는 사회를 지탱하는 소수와 암호를 다룬다. 소수는 2 이상의 정수 가운데 1과 자기 자신으로만 나누어 지는 수를 말한다. 이는 암호화 기술에도 활용횐다. 소수를 찾는 방법에는 규칙성과 불규칙성이 있으며, 프리히타의 소수원에서는 소수의 규칙성이 보이는 것 같으나, 불규칙성도 엿볼 수 있다. 소수를 골라내는 가장 오래된고 유일한 방법은 에라토스테네스의 체이다. 소수의 유한성과 무한성을 찾는 방법으로 유클리드의 호제법이 있다. 사상 최대 소수의 발견은 메르센 수를 찾는 방법으로 2018년 12월 7일 사상 최대의 소수가 발견되었는데 이는 2400만 자리를 넘는 엄청난 수이다. 15세의 가우스는 소수의 개수가 큰 수가 됨에 따라 적어진다는 소수의 계단으로 소수의 법칙을 발견했다. 소수가 만드는 무늬의 하나인 울람의 나선처럼 해결되지 않은 문제가 여러개 있다. 리만 가설의 증명으로부터 자연의 수에 대한 이해를 시작할 수 있다. 소수 암호가 개인 정보를 지킬 수 있어 매우 중요하다. 암호는 전쟁에서 매웅 중요하게 사용되지만, 현재는 공개 키 암호로 획기적인 전환을 가져왔다. 종래의 암호는 암호 열쇠와 복호 열쇠가 같아 비밀 암호 열쇠를 개별적으로 건네주어야 하나, 공개 열쇠 암호는 암호 열쇠와 복호 열쇠가 달라 암호 열쇠가 있어도 복호가 되지 않는다. 소수를 바탕으로 한 소인수 분해는 장래에도 계속 어렵게 되어 암호에 많이 사용되며, 현재는 2단계의 실용적인 하이브리드형 암호를 사용한다. 앞으로의 미래에는 양자 컴퓨터가 암호의 미래를 바꿀 것이다.
4부에서는 가상 통화와 블록체인을 다루는데, 사토시 나카모토가 고안한 특수한 메커니즘을 통해 반자동적으로 발행 및 관리되는 비트코인은 발행처가 존재하지 않고, 참가자 전원이 돈을 관리하며, 돈의 위변조의 부정행휘를 방지한다. 이는 특정 관리자를 두지 않고 이중 지불 문제를 해결하기 위해 거래 이력을 바꿀 수 없도록 기록하고, 그 기록을 누구든지 자유롭게 검증할 수 있도록 모두가 공유하는 블록체인 기술이 핵심이다. 또한 위변조 사실이 드러나지 않게 하기 위해 다음 블록에 저장된 해시값을 위변조된 블록을 바탕으로 만든 해시값으로 바꾸면 그 이후의 모든 블록의 해시값을 바꾸어야 되어 사실상 블록체인에는 위변조가 불가능하다. 비트코인 시스템에는 전 세계 채굴자의 컴퓨터 능력을 함해 약 10분에 하나의 해시값이 발견되도록 2주일에 한 번 조건의 난이도를 조절해 이 조건을 충족하는 해시값을 만들기 위해 컴퓨터로 엄청난 시간이 걸리는 방대한 계산을 해야하고 이를 충족한 해시값을 찾는 사람에게 신규 발행된 비트코인이 보상으로 주어지는 채굴의 방식을 채택하여 운영된다. 암호 기술을 아용해 비트 코인을 송금한다. 블록체인은 전자 투표 등에도 이용한다.
5부에서는 사회를 지탱하는 여러 가지 수학을 다루는데, 특히 금융 세계에 없어서는 안될 미분과 적분, 지수 로그에 초점이 맞추어져 있다.
1부에서는 통계의 기본과 베이즈 통계를, 2부에서는 사회를 지탱하는 푸리에 해석을, 3부는 사회를 지탱하는 소수와 암호를, 4부에서는 가동통화와 블록체인을, 5부에서는 사회를 지탱하는 여러 가지 수학을 다룬다.
1부 통계의 기본에서는 집단의 평균값과 흩어진 정도를 구하기 위해 편차를 구하게 되고, 이를 표준으로 표준편차를 구한다. 가장 흔한 정규 분포에 대해 설명하며, 표본 조사의 방법을 다룬다. 기네스 맥주에서 탄생한 t검증에 대해 설명하고, 상관관계의 함정에 대해 주의하도록 설명하고 있다. 베이즈 통계는 결과를 초래하는 원인을 추측하는 통계학을 다루는데 베이즈 통계는 조건부 확률을 구하기 위한 통계학이다. 몬티 홀의 문제는 결국 다른 상자를 골라야 확률이 올라간다는 것을 알 수 있다. 베이즈 통계는 사람의 주관적인 예상도 데이터로 활용할 수 있고, 이를 통해 AI를 크게 발전시키게 되었다.
2부에서는 사회를 지탱하는 푸리에 해석을 다루었다. 푸리에 해석이란 푸리에 급수 전개나 푸리에 변환 등의 수학적인 기술을 구사하여 복잡한 파동을 단순한 파동의 덧셈으로 나타낸 것이다. 복잡한 파동을 분해해 주파수별 파동의 크기를 푸리에 변환이라고 하는데 푸리에 변환을 써서 원래 함수의 성질을 조사하거나 푸리에 변환을 응용해 파동의 특징을 분석하는 일을 푸리에 해석이라고 한다. 이 푸리에 해석으로 디지털 영상과 동영상에서도 활용할 수 있고, 특히, 디지털 영상 압축 기술의 하나인 JPEG에서는 푸리에 해석을 사용해 원래의 영상을 주파수 성분으로 분해한다. 주파수 성분을 솎아 더이터의 양을 줄일 수 있다. 이는 AI의 음성인식과 보컬로이드의 음성 합성도 가능하다. 또한 지진 연구부터 양자 역학까지 모든 과학의 토대이다. 귀에도 푸리에 해석이 있는데 귀에 들어온 음의 높낮이에 따라 달팽이관 내부 어디의 감각모가 기울어 지는데 이런 과정을 통해 귀에 들어온 음의 정보는 주파수 성분별로 분해되어 신경을 통해 뇌에 전달된다.
3부에서는 사회를 지탱하는 소수와 암호를 다룬다. 소수는 2 이상의 정수 가운데 1과 자기 자신으로만 나누어 지는 수를 말한다. 이는 암호화 기술에도 활용횐다. 소수를 찾는 방법에는 규칙성과 불규칙성이 있으며, 프리히타의 소수원에서는 소수의 규칙성이 보이는 것 같으나, 불규칙성도 엿볼 수 있다. 소수를 골라내는 가장 오래된고 유일한 방법은 에라토스테네스의 체이다. 소수의 유한성과 무한성을 찾는 방법으로 유클리드의 호제법이 있다. 사상 최대 소수의 발견은 메르센 수를 찾는 방법으로 2018년 12월 7일 사상 최대의 소수가 발견되었는데 이는 2400만 자리를 넘는 엄청난 수이다. 15세의 가우스는 소수의 개수가 큰 수가 됨에 따라 적어진다는 소수의 계단으로 소수의 법칙을 발견했다. 소수가 만드는 무늬의 하나인 울람의 나선처럼 해결되지 않은 문제가 여러개 있다. 리만 가설의 증명으로부터 자연의 수에 대한 이해를 시작할 수 있다. 소수 암호가 개인 정보를 지킬 수 있어 매우 중요하다. 암호는 전쟁에서 매웅 중요하게 사용되지만, 현재는 공개 키 암호로 획기적인 전환을 가져왔다. 종래의 암호는 암호 열쇠와 복호 열쇠가 같아 비밀 암호 열쇠를 개별적으로 건네주어야 하나, 공개 열쇠 암호는 암호 열쇠와 복호 열쇠가 달라 암호 열쇠가 있어도 복호가 되지 않는다. 소수를 바탕으로 한 소인수 분해는 장래에도 계속 어렵게 되어 암호에 많이 사용되며, 현재는 2단계의 실용적인 하이브리드형 암호를 사용한다. 앞으로의 미래에는 양자 컴퓨터가 암호의 미래를 바꿀 것이다.
4부에서는 가상 통화와 블록체인을 다루는데, 사토시 나카모토가 고안한 특수한 메커니즘을 통해 반자동적으로 발행 및 관리되는 비트코인은 발행처가 존재하지 않고, 참가자 전원이 돈을 관리하며, 돈의 위변조의 부정행휘를 방지한다. 이는 특정 관리자를 두지 않고 이중 지불 문제를 해결하기 위해 거래 이력을 바꿀 수 없도록 기록하고, 그 기록을 누구든지 자유롭게 검증할 수 있도록 모두가 공유하는 블록체인 기술이 핵심이다. 또한 위변조 사실이 드러나지 않게 하기 위해 다음 블록에 저장된 해시값을 위변조된 블록을 바탕으로 만든 해시값으로 바꾸면 그 이후의 모든 블록의 해시값을 바꾸어야 되어 사실상 블록체인에는 위변조가 불가능하다. 비트코인 시스템에는 전 세계 채굴자의 컴퓨터 능력을 함해 약 10분에 하나의 해시값이 발견되도록 2주일에 한 번 조건의 난이도를 조절해 이 조건을 충족하는 해시값을 만들기 위해 컴퓨터로 엄청난 시간이 걸리는 방대한 계산을 해야하고 이를 충족한 해시값을 찾는 사람에게 신규 발행된 비트코인이 보상으로 주어지는 채굴의 방식을 채택하여 운영된다. 암호 기술을 아용해 비트 코인을 송금한다. 블록체인은 전자 투표 등에도 이용한다.
5부에서는 사회를 지탱하는 여러 가지 수학을 다루는데, 특히 금융 세계에 없어서는 안될 미분과 적분, 지수 로그에 초점이 맞추어져 있다.